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数学Ⅲ:数列の極限
数列の収束と発散

WEDS SPORT REV CATALYZER ホンダ インテグラ タイプR 01/7~04/9 DC5用 (RCL-H005)【触媒】ウェッズスポーツ レブキャタライザー

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今回の問題は「数列の収束と発散」です 15インチ サマータイヤ セット【適応車種:ミラ(L275、285系)】WEDS ウェッズスポーツ SA-77R フォースブラッククリア 5.0Jx15ADVAN ネオバAD08R 165/55R15。

問題一般項が次の式の数列の収束・発散を調べよ。また、収束するときはその極限値を求めよ。${\small (1)}~\{~n-1~\}\hspace{32pt}{\small (2)}~\{~3-n~\}$${\small (3)}~\left\{~2+\frac{1}{n}~\right\}\hspace{20pt}{\small (4)}~\left\{~\frac{2}{n^2}-1~\right\}$${\small (5)}~\{~\sqrt{n+1}~\}\hspace{25pt}{\small (6)}~\{~3^n~\}$${\small (7)}~\left\{~\left(\frac{1}{3}\right)^n~\right\}\hspace{20pt}{\small (8)}~\{~(-2)^n~\}$

 

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WEDS モノグラムレザー SPORT REV CATALYZER ホンダ インテグラ 97.11~ タイプR 01/7~04/9 DC5用 (RCL-H005)【触媒】ウェッズスポーツ レブキャタライザー

Point:数列の収束と発散\(a\) を定数とし、\(n\to\infty\) としたとき、

$~{\large ①}~n\pm a ~\to~\infty$$~{\large②}~-n\pm a~\to~-\infty~~$$~{\large③}~n^2+n~\to~\infty$

定数をたし算・ひき算しても結果は同じになります。
 

$~{\large④}~\frac{a}{n}~\to~0$$~{\large⑤}~\frac{a}{n^2}~\to~0~~$

分母が \(\infty\) になると限りなく \(0\) に近づきます。
 

$~{\large⑥}~\sqrt{n}~\to~\infty~~$

平方根の中が無限大でも発散します。
 
無限等比数列 \(\{r^n\}\) について、

$~{\large⑦}~r>1~\Rightarrow~r^n~\to~\infty$$~{\large⑧}~r=1~\Rightarrow~r^n~\to~1$$~{\large⑨}~-1<r<1~\Rightarrow~r^n~\to~0~~$$~{\large⑩}~r≦-1$   \(~~\Rightarrow~~ r^n\) は振動する

 

問題解説:数列の収束と発散

インテグラ WEDS ホンダ WEDS タイプR REV (RCL-H005)【触媒】ウェッズスポーツ CATALYZER SPORT インテグラ DC5用 01/7~04/9 レブキャタライザー

問題一般項が次の式の数列の収束・発散を調べよ。また、収束するときはその極限値を求めよ 17インチ サマータイヤ セット【ノア(80系 5ナンバー)】MANARAY ユーロスピード V25 ブラックポリッシュ 7.0Jx17ディレッツァ DZ102 215/45R17 【送料無料 シエンタ 170系専用】 185/60R15 15インチ TOPY トピー シビラ NEXT Z-7 6J 6.00-15 YOKOHAMA ヨコハマ ブルーアース AE-01F SALE サマータイヤ ホイール4本セット【YOsum18】。${\small (1)}~\{~n-1~\}$

\(n\to\infty\) のとき、$~~~n-1~\to~\infty -1~\to~\infty$よって、答えは正の無限大に発散します。

 

問題解説(2)
問題${\small (2)}~\{~3-n~\}$

\(n\to\infty\) のとき、$~~~3-n~\to~3-\infty~\to~-\infty$よって、答えは負の無限大に発散します。

 

問題解説(3)
問題${\small (3)}~\left\{~2+\frac{1}{n}~\right\}$

\(n\to\infty\) のとき、\({\Large \frac{1}{n}}\to 0\) となるので、$~~~2+\frac{1}{n}~\to~2+0~\to~2$よって、答えは \(2\) に収束します ☆ ADVAN NEOVA ヨコハマ アドバン ネオバAD08R 305/30R19 102W XL。

 

問題解説(4)
問題${\small (4)}~\left\{~\frac{2}{n^2}-1~\right\}$

\(n\to\infty\) のとき、\({\Large \frac{1}{n^2}}\to 0\) となるので、$~~~\frac{2}{n^2}-1~\to~0-1~\to~-1$よって、答えは \(-1\) に収束します。

 

問題解説(5)
問題${\small (5)}~\{~\sqrt{n+1}~\}$

\(n\to\infty\) のとき、$~~~\sqrt{n+1}~\to~\sqrt{\infty +1}~\to~\infty$よって、答えは正の無限大に発散します。

 

問題解説(6)
問題${\small (6)}~\{~3^n~\}$

等比数列の公比が \(3\) であるので、\(n\to\infty\) のとき、$~~~3^n~\to~\infty$よって、答えは正の無限大に発散します。

 

問題解説(7)
問題${\small (7)}~\left\{~\left(\frac{1}{3}\right)^n~\right\}$

等比数列の公比が \({\Large \frac{1}{3}}\) であるので、\(n\to\infty\) のとき、$~~~\left(\frac{1}{3}\right)^n~\to~0$よって、答えは \(0\) に収束します。

 

問題解説(8)
問題${\small (8)}~\{~(-2)^n~\}$

等比数列の公比が \(-2\) であるので、答えは振動します。

 

今回のまとめ

数列の極限の基本を解説しました。これらが今後の基本となるので、それぞれの求め方をしっかりと覚えておきましょう。

【問題一覧】数学Ⅲ:数列の極限
このページは「高校数学Ⅲ:数列の極限」の問題一覧ページとなります。解説の見たい単元名がわからない...
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